شرح درس الأعداد المركبة (Complex Numbers) في الرياضيات
الأعداد المركبة (وتُعرف أيضًا بالأعداد العقدية) هي أحد أهم المفاهيم الرياضية التي تمتد جذورها إلى القرن السادس عشر. تُستخدم هذه الأعداد لحل المعادلات التي لا يوجد لها حل في مجموعة الأعداد الحقيقية، مثل المعادلة (x^2 + 1 = 0). في هذا الدرس، سنستعرض تعريف الأعداد المركبة، وطرق تمثيلها، والعمليات الأساسية عليها.شرحدرسالأعدادالمركبةComplexNumbersفيالرياضيات
1. تعريف العدد المركب
العدد المركب هو عدد يُكتب على الصورة:[ z = a + bi ]حيث:- (a) و (b) أعداد حقيقية.- (i) هي الوحدة التخيلية، وتحقق (i^2 = -1).
يُسمى الجزء (a) بـ الجزء الحقيقي للعدد المركب، بينما يُسمى الجزء (b) بـ الجزء التخيلي.
2. تمثيل الأعداد المركبة
يمكن تمثيل الأعداد المركبة بعدة طرق، منها:
أ. التمثيل الجبري
هو الصورة الأساسية (z = a + bi)، والتي تُستخدم في العمليات الحسابية مثل الجمع والطرح والضرب.
شرحدرسالأعدادالمركبةComplexNumbersفيالرياضياتب. التمثيل الهندسي (المستوى المركب)
يمكن تمثيل العدد المركب كنقطة في المستوى الإحداثي، حيث:- المحور الأفقي يمثل الجزء الحقيقي.- المحور الرأسي يمثل الجزء التخيلي.
شرحدرسالأعدادالمركبةComplexNumbersفيالرياضياتج. الصورة القطبية
تُكتب الأعداد المركبة باستخدام الزاوية ونصف القطر كالآتي:[ z = r (\cos \theta + i \sin \theta) ]حيث:- (r = \sqrt{ a^2 + b^2}) (طول المتجه).- (\theta = \tan^{ -1}\left(\frac{ b}{ a}\right)) (الزاوية مع المحور الحقيقي).
شرحدرسالأعدادالمركبةComplexNumbersفيالرياضيات3. العمليات على الأعداد المركبة
أ. الجمع والطرح
لجمع أو طرح عددين مركبين، نجمع أو نطرح الأجزاء الحقيقية والتخيلية بشكل منفصل:[ (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i ]
شرحدرسالأعدادالمركبةComplexNumbersفيالرياضياتب. الضرب
يتم ضرب عددين مركبين باستخدام توزيع الضرب مع مراعاة أن (i^2 = -1):[ (a + bi) \cdot (c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i ]
شرحدرسالأعدادالمركبةComplexNumbersفيالرياضياتج. القسمة
للقسمة، نضرب البسط والمقام في مرافق المقام لإزالة (i) من المقام:[ \frac{ a + bi}{ c + di} = \frac{ (a + bi)(c - di)}{ c^2 + d^2} ]
شرحدرسالأعدادالمركبةComplexNumbersفيالرياضيات4. تطبيقات الأعداد المركبة
تستخدم الأعداد المركبة في العديد من المجالات مثل:- الهندسة الكهربائية (تحليل الدوائر المتناوبة).- الفيزياء (ميكانيكا الكم والمعادلات الموجية).- معالجة الإشارات (تحليل فورييه).
شرحدرسالأعدادالمركبةComplexNumbersفيالرياضياتالخلاصة
الأعداد المركبة توسع مفهوم الأعداد الحقيقية وتسمح بحل معادلات لم يكن لها حلول سابقًا. بفهم أساسياتها وتمثيلاتها المختلفة، يمكن تطبيقها في مجالات علمية وتقنية متعددة. يُنصح بحل تمارين متنوعة لترسيخ هذه المفاهيم.
شرحدرسالأعدادالمركبةComplexNumbersفيالرياضيات